因式分解八个注意事项及课本未拓展五个对策计划
时间：2021-04-19 11:12:32 来源：写作资料库 本文已影响 人 
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因式分解的“八个注意”事项及
“课本未拓展的五个的方法”
一、“八个注意”事项
（一）首项有负常提负
例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－
a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。
（二）各项有公先提公
例2因式分解8a4－2a2
解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如
4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误
.
（三）某项提出莫漏
1
例3因式分解a3-2a2+a
解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)
2
这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉
1。防止学生出现诸如
a3-2a2+a=a(a2-2a)
的错误。
（四）括号里面分到“底”。
例4因式分解
x4－3x2－4
.
.
解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到
x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步
分解的错误。
因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。
（五）各式之间必须是连乘积的形式
例5分解因式x2－9+8x=
2
2
－1)(x+9)
解：x
－9+8x=x+8x－9=(x
这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。
有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（
x+3）(x－3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积2
形式，显然是错误的。正解应是：原式
=
x+8x－9=(x－1)(x+9)
（六）数字因数在前，字母因数在后；
例6因式分解3x3
18x2
27x
解：3x3
18x2
27x=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式
中不能写成3x3
18x2
27x=x3(x
2-6x+9)=x3(x-3)
2
（七）单项式在前，多项式在后；
例7因式分解x3y
xy3
.
.
解：x3y
xy3=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y)这里的“单项式在前，
多项式在后”，指分解因式中不能把
单项式写在后面，即不能写成
x3y
xy3=(x2-y2)xy=(x+y)(x-y)xy
（八）相同因式写成幂的形式；
例8因式分解x4y-x2y3
解：x4y-x2y3
=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y)这里的“相同因式写成幂的形式”，
指分解因式中不能相同
的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成
x4y-x2y3
=x2y(x2-y2)=xxy(x+y)(x-y)；
二、课本未拓展的五个的方法
以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。
（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1、因式分解
a
2
b
2
4
a
2
3
b
解析：根据多项式的特点，把
3拆成4+（-1），
则a2
b2
4a
2b
3=a2
b2
4a2b41(a2
4a4)(b2
2b1)
=(a
2)2
(b
1)
2
(a
b
1)(a
b3)
例2、因式分解
x3
6x2
11x
6
解析：根据多项式的特点,把6x2拆成2x2
4x2
；把11x拆成8x3x
则x3
6x2
11x
6=(x3
2x2)
(4x2
8x)
(3x
6)
=x2(x
2)4x(x
2)3(x
2)
(x
2)(x2
4x
3)(x1)(x2)(x3)
（二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
.
.
例3、因式分解x4
4y4
解析：根据多项式的特点
,
在x4
4y4中添上4x2y2,4x2y2两项，
则x4
4y4
=(x4
4x2y2
4y4)
4x2y2
(x2
2y2)2
(2xy)2
=(x2
2xy
2y2)(x2
2xy
2y2)
例4、因式分解
x
3
3
2
4
x
解析：根据多项式的特点，将
3x2拆成
4x2
x2，再添上4x,4x两项，则
x3
3x2
4=x3
4x2
4xx2
4x4
=(
2
4
x
4)(
x
2
4
x
4)(
x
2
4
x
4)(
x
1)
xx
=(x
1)(x
2)2
（三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
例5、因式分解(
x
2
3
4)(
x
2
x
6)
24
x
解析：(x2
3x
4)(x2
x
6)
24=(x
1)(x
4)(x
2)(x3)24
=(x
1)(x
2)(x
3)(x
4)
24
(x2
x
2)(x2
x
12)
24
设y
x2
x2，则x2
x12y10
于是，原式=
y(y
10)
24
y2
10y
24
(y4)(y
6)
(x2
x
2
4)(x2
x26)
=(x2
x
6)(x2
x
8)
(x
2)(x3)(x2
x
8)
例6、因式分解(x
y
2xy)(x
y
2)
(xy
1)2
解析：设x
ym,xy
n，则
(x
y2xy)(x
y
2)
(xy
1)2
=(m
2n)(m
2)
(n
1)2
=m2
2mnn2
2m
2n
1(mn)2
2(mn)1
.
.
=(m
n
1)2
(x
y
xy
1)2
(x
1)(1
y)2
(x
1)2(y
1)2
（四）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。
例7、因式分解
mn(x2
y2)
xy(m2
n2)
解析：将多项式展开再重新组合，分组分解
mn(x2
y2)
xy(m2
n2)=mnx
2
mny2
xym2
xyn2
=(mnx2
xym2)
(mny2
xyn2)
mx(nx
my)
ny(nx
my)
(nxmy)(mxny)
例8、因式分解
(mx
ny)2
(nx
my)2
解析：(mx
ny)2
(nx
my)2
=m
2x2
2mnxy
n2y2
n2x2
2mnxym2y2
=(m2x2
n2x2)(m2y2
n2y2)
x2(m2
n2)
y2(m2
n2)
=(m2
n2)(x2
y2)
（五）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。
例9、因式分解
x4
3x3
x2y
2x2
2xy
解析：将多项式以
y为主元，进行整理
x4
3x3
x2y2x2
2xy=(x2
2x)y(x4
3x3
2x2)
=x(x2)yx2(x2)(x1)x(x
2)(x2
xy)
例10、因式分解a2b
ab2
a2c
ac
2
b2c
bc2
2abc
解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以
a为主元进行整理
a2b
ab2
a2c
ac2
b2c
bc2
2abc
=
a
2
(
b
c
)
a
(
b
2
2
c
2)
bc
(
b
c
)
bc
=a2
(b
c)
a(b
c)2
bc(b
c)
.
.
=(b
c)[a2
a(b
c)
bc]
(b
c)(a2
ab
ac
bc)
=(b
c)[a(a
b)
c(a
b)]
(a
b)(a
c)(b
c)
.