【中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)】中考垫上运动

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)
一、选择题
1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（　　）
　　　　　　　　　　　
A．　　 　B． 　　 C． 　 D．
2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（　　）
　　　　　　　　　　　　　　
A．1080°　 B．360°　 C．180°　 D．900°
3. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（　 ）
　　A. 等腰三角形　　　 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形　　　 D. 直角三角形
　　　　　　　　　
4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（ 　）　
A、 　　　B、　　　C、　　　D、
　　　　　　　　　　　　　　 
二、填空题
5. 如图（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：______．
　　　　　　　　　　　　　
6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________
　　　　　　　　　　　　　　 
7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是______cm．
　　　　　　　　　　
三、解答题
8．阅读下列材料：
　　小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．
他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．
请你参考小明的做法解决下列问题：
　　（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；

　　（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．
　　　　　　　　　
9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．
　　　　　　　　　
（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：
　　第一步　 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；

　　第二步　 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；

　　则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；

　　（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；
若不相等，请分别计算它们的比值；

　　（3）如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；

　　（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．
10. 操作与探究
（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；

　　（2）再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；

　　（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；
②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；

　　（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?
　　　　　　　　　　　
11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例：
　　当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现：
　　小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实践探究：
　　（1）正方形FGCH的面积是________；
(用含a、b的式子表示)
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
　　　　　　　　　　 　　
联想拓展：
　　小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；
若不能，简要说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　
12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．
　　　　　　　
（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；

　　（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．
①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

　　②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长． 答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】B；

　　　【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；
四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；
选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．
2.【答案】A；

　　　【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．
3.【答案】B；

　　　【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.
4.【答案】D.
二、填空题
5.【答案】
　答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；

　　　②它的腰长等于上底长；
③它的上底等于下底长的一半．
　【解析】
　拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.
6.【答案】；

　　　【解析】
　由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
　此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，
　过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，
　由圆周角定理可知∠EOH=12
　∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．
　　　　　　　　　　　　　 
　如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
　∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB= ，
　∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
　由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，
　∴在Rt△EOH中，EH=OE.sin∠EOH=1×= ，
　由垂径定理可知EF=2EH=，
　故答案为： ．
7.【答案】10；

　　　【解析】
　解：设OE的解析式为y=kt，
∵点M（4，5），
∴k=，
如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，
∵AG⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=DC=6，
∴AB2=BG2+AG2，
∴（）2=t2+62，
解得：t=8，
∴AB=×8=10（cm）．
　　　　　　　　　　　　　　　
三、解答题
8.【答案与解析】
解：
　　（1）拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)． 　
　　　　　　　　　　　　　　
（2）正确画出图形(如图所示)．
　　　　　　　　　　　　　　 　
平行四边形MNPQ的面积为．
9.【答案与解析】
解：
　　（1），，．
（2）相等，比值为．
（3）设DG＝x．

在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．

∵∠HGF＝90°，

∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，

∴△HDG∽△GCF，

∴．

∴CF＝2DG＝2x．

同理∠BEF＝∠CFG．

∵EF＝FG．

∴△FBE∽△GCF，

∴BF＝CG＝．

∴．

解得，即．
（4），．
10.【答案与解析】
（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．
（2）如图所示，有3种折法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．
（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．
11.【答案与解析】
解：实验探究
（1）
　　（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．
　　　　　　　　　　　　

联想拓展

能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．

(注意；
图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)
12.【答案与解析】
解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，

　　∴∠A=∠ABC=45°，

　　∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，

　　∴CB与CE重合，

　　∴∠CBE=∠A=45°，

　　∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，

　　∵BG=AD=BF，

　　∴∠BGF=∠BFG=45°，

　　∴∠A=∠BGF=45°，

　　∴GF∥AC．
　　（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，

　　∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，

　　∵∠ACD=∠ECF，

　　∴∠ACE=∠DCF，

　　∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，

　　∴∠CAE=∠CDF，

　　∴A、D、M、C四点共圆，

　　∴∠CMF=∠CAD=45°，

　　∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°． 　
　　　②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM． 　
　　　∵AD=DB，CA=CB， 　
　　　∴CD⊥AB，

　　∴∠ADC=90°，

　　由①可知A、D、M、C四点共圆，

　　∴当α从90°变化到180°时，

　　点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，

　　∵OA=OC，CD=DA，

　　∴DO⊥AC， 　
　　　∴∠DOC=90°， 　
　　　∴的长==．

　　∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．