中考冲刺：几何综合问题(基础) 中考数学最值问题

冲刺：几何综合问题(基础)
一、选择题
1.（2016•天水）如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　
A．　 　 B．　 C．　 D．
2. 如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE交BC于点G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面积等于4，那么梯形ABGD的面积是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 16　　 B. 20　　 C. 24　　　 D. 28
二、填空题
3.（2016•海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为______ m．
　　　　　　　　　　　　
4. 如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=_____________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．
　　　　　　　　　　　　　　　　
三、解答题
5. 有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；
　将直尺沿AB方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（　0≤x≤10　），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
（1）当x=0时（如图①），S=________；

　　（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；

　　（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；

　　（4）直接写出S的最大值．
　　　　　　　 
6. 问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证：△ABD≌△CAE.（不需要证明）
　　特例探究：如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证：△ABD≌△CAE．
归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；
如果不全等，请说明理由．
拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．
　　　　　
7. 如图正三角形ABC的边长为6cm,⊙O的半径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB－BC－CA运动，回到点A时，⊙O随着点O的运动而移动.
⑴若r=cm,求⊙O首次与BC边相切时，AO的长；

　　⑵在⊙O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数；

　　⑶设⊙O在整个移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分面积为S，在S＞0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围. 　
　　　　　　　　　　　　　　
8. （2015•德州）（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
　　如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
　　　　　　
9. 如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12 cm，BC=9 cm，DC=13 cm，点P是线段AB上一个动点.设BP为x cm，△PCD的面积为y cm2．
（1）求AD 的长；

　　（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；
若不存在，请说明理由. 　 　
　　　　　　　　　　　　　　　
10. 如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式. 　
　　　　　　　　　　　　　　   答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】B.
　【解析】如图1所示：当0＜x≤1时，过点D作DE⊥BC′．
　　　　　∵△ABC和△A′B′C′均为等边三角形，
　　　　　∴△DBC′为等边三角形．
　　　　　∴DE=BC′=x．
　　　　　∴y=BC′•DE=x2．
　　　　　当x=1时，y=，且抛物线的开口向上．
　　　　　如图2所示：1＜x≤2时，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为E．
　　　　　∵y=B′C′•A′E=×1×=．
　　　　　∴函数图象是一条平行与x轴的线段．
　　　　　如图3所示：2＜x≤3时，过点D作DE⊥B′C，垂足为E．
　　　　　y=B′C•DE=（x﹣3）2，
　　　　　函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
　　　　　故选：B．
2.【答案】B.
二、填空题
3.【答案】134.
4.【答案】4.
三、解答题
5.【答案与解析】
（1）由题意可知：
　　　　 当x=0时，
　　 ∵△ABC是等腰直角三角形，
　　 ∴AE=EF=2，
　　 则阴影部分的面积为：S=×2×2=2；

　　　　 故答案为：2；

　　（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
　　 ∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
　　 ∴S梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．
　　 ∴S=2x+2；

　　（3）①当4＜x＜6时（图1），
　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　 GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
　　 则S△ADG=AD.DG=x2，
　　 S△BEF=（10-x）2，
　　 而S△ABC=×12×6=36，
　　 S△BEF=（10-x）2，
　　 ∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14，
　　 S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，
　　 ∴当x=5，（4＜x＜6）时，S最大值=11．
（4）S最大值=11．
6.【答案与解析】
特例探究：
　　证明：∵△ABC是等边三角形，
　　　∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，
　　　在△ABD与△CAE中，
　　　，
　　　∴△ABD≌△CAE（SAS）；

　　　　　归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：
　　　　　∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，
　　　∴∠DBA=∠EAC=120°．
　　　在△ABD与△CAE中，
　　　，
　　　∴△ABD≌△CAE（SAS）；

　　　　　拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，
　　　∴OA=OB，
　　　∴∠OBA=∠BAC=50°，
　　　∴∠EAC=∠DBC．
　　　在△ABD与△CAE中，，
　　　∴△ABD≌△CAE（SAS），
　　　∴∠BDA=∠AEC=32°，
　　　∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．
7.【答案与解析】
（1）设⊙O首次与BC相切于点D，则有OD⊥BC．
　　 且OD=r=．
　　 在直角三角形BDO中，
　　 ∵∠OBD=60°，
　　 ∴OB==2．
　　 ∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

　　（2）由正三角形的边长为6厘米．可得出它的一边上的高为3厘米．
　　 ①当⊙O的半径r=3厘米时，⊙O在移动中与△ABC的边共相切三次，即切点个数为3；

　　　　 ②当0＜r＜3时，⊙O在移动中与△ABC的边相切六次，即切点个数为6；

　　　　 ③当r＞3时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0．
（3）如图，易知在S＞0时，⊙O在移动中，在△ABC内部为经过的部分为正三角形． 　
　　　　　　　　　　　　　　
　　 记作△A′B′C′，这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r．
　　 连接AA′，并延长AA′，分别交B′C′，BC于E，F两点．
　　 则AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．
　　 又过点A′作A′G⊥AB于G，则A′G=r．
　　 ∵∠GAA′=30°，
　　 ∴AA′=2x．
　　 ∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，
　　 B′C′=
　　 A′E=2（3-r）．
　　 ∴△A′B′C′的面积S=B′C′.A′E=3（3-r）2．
　　 ∴所求的解析式为S=3（3-r）2（0＜r＜3）．
8.【答案与解析】
解：（1）如图1，
　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴=，

∴AD•BC=AP•BP；

　　
（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．

理由：如图2，
　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

∴△ADP∽△BPC，

∴=，

∴AD•BC=AP•BP；

　　
（3）如图3，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

过点D作DE⊥AB于点E．

∵AD=BD=5，AB=6，

∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，

∴DC=DE=4，

∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，

∴5×1=t（6﹣t），

解得：t1=1，t2=5，

∴t的值为1秒或5秒．
9.【答案与解析】 ⊥BC于点E．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE. 　
　在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，

∴ EC=5．　　　 ∴AD=BE=BC-EC=4．
（2）若BP为x，则AP=12-x. 　
　S△BPC=BP·BC=x.　 S△APD=AP·AD=24-2x. 　
　∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.

即 y=-x+54，0≤x≤12. 　
　当x=0时，y取得最大值为54 cm2.
（3）若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90° 　
　∴分两种情况讨论，如图2.
　　　　　　　　　　　　　　　　 

①当∠DPC=90°时

∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，

∴∠APD=∠PCB.∴ △APD∽△BCP.

∴.即.解得x=6.

∠APD=∠BPC=45°的情况不存在，不考虑.

②当∠P1DC=90°时，

在 Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，

在 Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，

∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.

即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.

综上，当x=6或，△PCD是直角三角形.
10.【答案与解析】
当Q点与D点重合时，AQ=AD=6，此时AP=AQ=3=t
当P与B点重合时，t=10，
当 P点运动到C时，t=16，
∴分三类情况讨论
（1）当0≤t≤3时，如图：
　　　　　　　　　　　　　　　　　 
　　 AP=t，PQ=t，
　　 ∴S=AP·PQ=t2
（2）当3＜t≤10时，示意图：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 过D作DH⊥AB于H，AD=t，
　　 则 DH=ADsinA=6·=3，AH=ADcosA=3
　　 ∴DQ=PH=AP-AH=t-3
　　 ∴S=(AP+DQ)·DH
　　 　 =(t+t-3)·3=3t-
（3）当10＜t≤16时，如图：
　
　　　　　　　　　　　　　　
　　 AB+BP=t
　　 CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t
　　 ∴CQ=CP=8-
　　 QP=·CQ=8-t
　　 ∴S=S□ABCD-S△CPQ
　　 　 =AB·h-·CQ·PQ
　
=10·3-·(8-)·(8-)
　
=30-(64-8t+)
　
=
　　 综上，.