中考冲刺：代数综合问题(基础)(1):中考辅导

中考冲刺：代数综合问题(基础)
一、选择题
1. 如图所示，已知函数和y＝kx(k≠0)的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是(　 )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
2.（2016•河北模拟）如图，点A是x轴正半轴上的任意一点，过点A作EF∥y轴，分别交反比例函数和的图象于点E、F，且，连接OE、OF，有下列结论：①这两个函数的图象关于x轴对称；
②△EOF的面积为（k1﹣k2）；
③；
④当∠EOF=90°时，，其中正确的是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①③
B．②④　
C．①④　
D．②③
3．下列说法中
①若式子有意义，则x＞1.
②已知∠α=27°，则∠α的补角是153°.
③已知x=2 是方程x2-6x+c=0 的一个实数根，则c 的值为8.
④在反比例函数中，若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是k＞2. 其中正确的命题 有（ 　）
　　A. 1 个　　 B. 2 个　　　 C. 3 个　　　 D. 4 个
二、填空题
4．如图所示，是二次函数(a≠0)和一次函数(n≠0)的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________． 　
　　　　　　　　　　　　　　 
5．已知二次函数若此函数图象的顶点在直线y＝-4上,则此函数解析式为______．
6. （2016•历下区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；
②4a+2b+c＞0；
③b2﹣4ac＜0；
④b＞a+c；
⑤a+2b+c＞0，其中正确的结论有______．
　　　　　　　　　　　　　　　
三、解答题
7．（北京校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0
（1）求证：此方程总有两个实数根；

　　（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；

　　（3）在（2）中开口向上的抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线y=﹣x上有一个动点P．求使PA+PB取得最小值时的点P的坐标，并求PA+PB的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　
8. 善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；

　　（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；

　　（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大?
　　　　　　　
9. 已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．
（1）求的值；

　　（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；
若没有，请说明理由
（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．
10. 已知：关于x的一元二次方程，其中．
（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

　　（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）,若点D的坐标为（0，-2）,且AD·BD=10，求抛物线的解析式；

　　（3）已知点E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；
如果不存在，说明理由．   答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】C；

　　　【解析】本题考查方程组的解(数)与直线交点(形)坐标之间的关系．
2.【答案】B；

　　　【解析】①∵点E在反比例函数的图象上，
　　　　　点F在反比例函数的图象上，且，
　　　　　∴k1=OA•EA，k2=﹣OA•FA，
　　　　　∴，
　　　　　∴这两个函数的图象不关于x轴对称，即①错误；

　　　　　　　②∵点E在反比例函数y1=的图象上，点F在反比例函数y2=的图象上，
　　　　　∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，
　　　　　∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正确；

　　　　　　　③由①可知，∴③错误；

　　　　　　　④设EA=5a，OA=b，则FA=3a，
　　　　　由勾股定理可知：OE=，OF=．
　　　　　∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，
　　　　　∴=，④正确．
　　　　　综上可知：正确的结论有②④．
3.【答案】B；

　　　【解析】
　　　　　若式子有意义，则x≥1，①错误；

　　　　　　　由∠α=27°得∠α的补角是=180°-27=153°，②正确.
　　　　　把x=2 代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正确；
反比例函数中，
　　　　　若x＞0 时，y 随x 的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④错误.故选B.
二、填空题
4.【答案】-2≤x≤1；

　　　【解析】本题考查不等式与比较函数值的大小之间的关系．
5.【答案】，；

　　　【解析】
　　　　　∵顶点在直线y＝-4上，∴．，m＝±1．
　　　　　∴此函数解析式为：，．
6.【答案】①②④⑤；

　　　【解析】∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
　　　　　∵对称轴x=﹣=1，∴b＞0，
　　　　　∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；

　　　　　　　根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；

　　　　　　　根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；

　　　　　　　根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正确；

　　　　　　　∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，
　　　　　∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正确．
　　　　　故答案为：①②④⑤．
三、解答题
7.【答案与解析】
（1）证明：由题意得m≠0，
　　 ∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，
　　 ∴此方程总有两个实数根；

　　（2）解：方程的两个实数根为x=，
　　 ∴x1=1，x2=，
　　 ∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，
　　 ∴m=±1；

　　（3）由（2）知，m=±1．
　　 ∵抛物线y=mx2﹣（m+1）x+1的开口向上，
　　 ∴m=1，
　　 则该抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
　　 易求得A（1，0），B（0，1）．
　　 如图，点B关于直线y=﹣x的对称点C的坐标为（﹣1，0），连接AC，与直线y=﹣x的交点即为符合条件的点P．此时点P与原点重合，则P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．
　　　　　　　　　　　　　
8.【答案与解析】　
（1）设y＝kx，当x＝1时，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．
（2）当0≤x＜4时，设y＝a(x-4)2+16．
　　 由题意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，
　　 即当0≤x＜4时，．当4≤x≤10时，y＝16．
（3）设小迪用于回顾反思的时间为x(0≤x≤10)分钟，学习收益总量为y，则她用于解题的时间为(20-x)分钟．
　　 当0≤x＜4时，．当x＝3时，．
　　 当4≤x≤10时，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y随x的增大而减小，因此当x＝4时，，
　　 综上，当x＝3时，，此时20-x＝17．
　　 答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大．
9.【答案与解析】
解：
　　（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
　　 所以抛物线对称轴，所以．
（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．
　　 因为，=16-8=80．
　　 所以，方程有两个不同的实数根，分别是
　　 ，．
（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式
　　 为．
　　 若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．
　　 由==<0，得
　　 又是正整数，所以的最小值为2．
10.【答案与解析】
解：
　　（1）将原方程整理，得，

△=＞0

∴ ．

∴或．
（2）由（1）知，抛物线与轴的交点分别为（m，0）、（4,0），

∵A在B的左侧，.

∴A（m，0），B（4,0）.

则，．

∵AD·BD=10，

∴AD2·BD2=100.

∴.

解得.

∵，

∴.

∴，.

∴抛物线的解析式为.
（3）答：存在含有、y、y，且与a无关的等式，

如：（答案不唯一）.

证明：由题意可得，，
　　　　　 .
　　　　　 ∵左边=.
　　　　　 　右边=－－4
　　　　　　

　　　　　　　　 =.
　　　　　 ∴左边=右边.
　　　　　 ∴成立.