[中考冲刺：代几综合问题(提高)]初三数学

中考冲刺：代几综合问题(提高)
一、选择题
1.（2016•鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（　　）
　
　　　　　　　　　　　　　　　　
A．　 B． C．D．
2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（　 ）
　　 
二、填空题
3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．
4.（2016•梧州）如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；
又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；
…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．
　　　　　　　　　　　　　　　　
三、解答题
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；
点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作 PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；

　　（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
　　　　　　　　　　　　　　　
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；
动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）
　 （1）求线段AB的长；
当t为何值时，MN∥OC？ 　 （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　
7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．
　　　　　　
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
　　（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；

　　（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

　　（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．
（1）求N点、M点的坐标；

　　（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；

　　（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；

　　②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；
若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．
（1）求B点的坐标和k的值；

　　（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；

　　（3）探索：在（2）的条件下：
　　①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；

　　②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；
若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
10. （2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

　　（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

　　（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；
若不能，请说明理由．
　　　　　　　　
11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；

　　（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；
若不成立，请说明理由；

　　（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．
　　　　  答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题
1.【答案】A.
　【解析】分两种情况：
　　　　　　　①当0≤t＜4时，
　　　　　作OG⊥AB于G，如图1所示：
　　　　　　　∵四边形ABCD是正方形，
　　　　　∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，
　　　　　∵O是正方形ABCD的中心，
　　　　　∴AG=BG=OG=AB=2cm，
　　　　　∴S=AP•OG=×t×2=t（cm2），
　　　　　②当t≥4时，作OG⊥AB于G，
　　　　　如图2所示：
　　　　　　　S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；

　　　　　　　综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．
2.【答案】A.
三、填空题
3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8）
　　4.【答案】（2×3n﹣1，0）.
　【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，
　　　　　∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，
　　　　　∴AnBn=4×3n﹣1（n为正整数）．
　　　　　∵OAn=AnBn，
　　　　　∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．
　　　　　故答案为：（2×3n﹣1，0）．
三、解答题
5.【答案与解析】
解：
　　（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒
　　 ∴AP=1，BQ=1.25，
　　 ∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，
　　 ∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，
　　 ∵PE∥BC，
　　 解得PE=0.75，
　　 ∵PE∥BC，PE=QD，
　　 ∴四边形EQDP是平行四边形；

　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，
　　 ∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
　　 ∴
　　 
　　 ∴PQ∥AB；

　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）分两种情况讨论：
　　　　 ①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
　　 又∵EQ∥AC，
　　 ∴△EDQ∽△ADC
　　 ∴，
　　 ∵BC=5，CD=3，
　　 ∴BD=2，
　　 ∴DQ=1.25t-2，
　　 ∴
　　 解得t=2.5（秒）；

　　　　 ②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，
　　 在 Rt△ACD中，
　　 ∵AC=4，CD=3，
　　 ∴AD=，
　　 
　　 ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
　　 ∴△EDQ∽△CDA，
　　 
　　 ∴ t=3.1（秒）．
　　 综上所述，当 t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形． 　
　　　　　　　　　　　　　　　
6.【答案与解析】
解：
　　（1）过点B作BD⊥OA于点D，
　　 则四边形CODB是矩形，
　　 BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3
　　 在Rt△ABD中，．
　　 当 时，，
　　 ，．
　　 ∵ ，，
　　 ∴，
　　 即 （秒）．
（2）过点作轴于点，交的延长线于点，
　　 ∵ ，
　　 ∴，．
　　 即 ，．
　　 ，
　　 ．
　　 ，
　　 ∴
　　
．
　　 即 （）．
　　 由 ，得．
　　 ∴当时，S有最小值，且
　　　　　　　　　　　　　　　　
7.【答案与解析】
解：
　　（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB=PD，

由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，

在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

　　（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，

PA+PC的最小值即为A′C的长，

∵∠AOC=60°

∴∠A′OC=120°

作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°

∵OA′=OA=2

∴A′D=

∴；

　　（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，

此时△PQR周长的最小值等于MN．

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，

∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，

在Rt△MON中，MN===10．

即△PQR周长的最小值等于10．
　　　　　　　　　　　
8.【答案与解析】
解：
　　（1）∵CN=CB=15，OC=9，
　　 ∴ON==12，∴N（12，0）；

　　　　 又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，
　　 设AM=x
　　 ∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；

　　（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36
　　 则（12﹣a）2=36
　　 ∴a1=6或a2=18（舍去）
　　　　 ∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36
　　 解法二：
　　　　 ∵x2﹣36=0，
　　 ∴x1=﹣6，x2=6；

　　　　 ∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）
　　　　 由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，
　　 所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；

　　（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，
　　 设直线MN的解析式为y=kx+b，
　　 则 ，解得 ，
　　 ∴y=x﹣16，
　　 ∴P（6，﹣8）；

　　　　 ②∵DE∥OA，
　　 ∴△CDE∽△CON，
　　 ∴；

　　　　 ∴S=
　　 ∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣
　　 ∴S有最大值，且S最大=﹣． 　
　　　　　　　　　　　　　　　　
9.【答案与解析】
解：
　　（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，
　　 ∴OC=1；

　　　　 ∵tan∠OCB=，∴OB=；
∴B点坐标为:；

　　　　 把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；

　　（2）∵S=，y=kx﹣1，
　　 ∴S=×|2x﹣1|；
∴S=|x﹣|；

　　（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；

　　　　 ∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；

　　　　 ②存在．
　　 满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．
10.【答案与解析】
解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得x1=﹣1，x2=3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴=，
∵CD=4AC，
∴==4，
∵OA=1，
∴OF=4，
∴D点的横坐标为4，
代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y=kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，
则，
解得：，
∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），
∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，
∴有最大值﹣a=，
∴a=﹣；

　　（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得x1=﹣1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，
设P1（1，m），
①若AD是矩形的一条边， 　
由AQ∥DP知xD﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），
m=yD+yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P1（1，﹣）．
　　　　　　　　　
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，
PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，
AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，
解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，
∴P2（1，﹣4）．
综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．
11.【答案与解析】
解：
　　（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上.
（2）成立．
　　 证明：连结DE，DF．　

　　　∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．

　　　又∵D，E，F是三边的中点，

　　　∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．

　　　又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，

　　　∴∠MDF=∠NDE．

　　　在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，

　　　∴△DMF≌△DNE．

　　　∴MF=NE．　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）画出图形（连出线段NE），

MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．